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    设函数f(x)＝ax2＋lnx．

    (Ⅰ)当a＝－1时，求函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；

    (Ⅱ)已知a＜0，若函数y＝f(x)的图象总在直线y＝－的下方，求a的取值范围；

    (Ⅲ)记为函数f(x)的导函数．若a＝1，试问：在区间[1，10]上是否存在k(k＜100)个正数x1，x2，x3…xk，使得成立？请证明你的结论．

    答案：
    解析：

    　　解：(Ⅰ)当时，，，，

    　　所以切线的斜率为；2分

    　　又，所以切点为．

    　　故所求的切线方程为：即；4分

    　　(Ⅱ)，，；6分

    　　令，则．

    　　当时，；当时，．

    　　故为函数的唯一极大值点，

    　　所以的最大值为＝．8分

    　　由题意有，解得．

    　　所以的取值范围为．10分

    　　(Ⅲ)当时，．记，其中．

    　　∵当时，，∴在上为增函数，

    　　即在上为增函数．12分

    　　又，

    　　所以，对任意的，总有．

    　　所以，

    　　又因为，所以．

    　　故在区间上不存在使得成立的()个正数…．14分


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    设函数f(x)＝ax－lnx－3(a∈R)，g(x)＝．

    (Ⅰ)若函数 g(x)的图象在点(0，0)处的切线也恰为f(x)图象的一条切线，求实数a的值；

    (Ⅱ)是否存在实数a，对任意的x∈(0，e]，都有唯一的x0∈[e－4，e]，使得f(x0)＝g(x)成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．注：e是自然对数的底数．

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    科目：高中数学 来源：新课标高三数学集合与简易逻辑专项训练（河北） 题型：解答题

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    设函数 f (x)＝ax－lnx－3（a∈R），g(x)＝xe1－x．

              （Ⅰ）若函数 g(x) 的图象在点 (0,0) 处的切线也恰为 f (x) 图象的一条切线，求实数    a的值；

              （Ⅱ）是否存在实数a，对任意的 x∈(0,e]，都有唯一的 x0∈[e－4,e]，使得 f (x0)＝g(x) 成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．

     

    注：e是自然对数的底数．

     

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省高三单元测试文科数学试卷 题型：解答题

    设函数f(x)＝ax＋ (a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

     

    程为y＝3.

    (1)求f(x)的解析式；

    (2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

    并求出此定值．

     

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