Question

17．根据下列条件，分别写出椭圆的标准方程：
（1）与椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$有公共焦点，且过M（3，-2）；
（2）中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点$A（{\sqrt{3}，-2}）$和$B（{-2\sqrt{3}，1}）$．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的定义求出a，可得b，即可求出椭圆的标准方程；
（2）利用待定系数法，求出椭圆的标准方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$的焦点坐标为（$±\sqrt{5}$，0），
∵椭圆过M（3，-2），
∴2a=$\sqrt{（3+\sqrt{5}）^{2}+4}$+$\sqrt{（3-\sqrt{5}）^{2}+4}$=2$\sqrt{15}$，
∴a=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{10}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$；
（2）设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0）．
∵椭圆经过两点$A（{\sqrt{3}，-2}）$和$B（{-2\sqrt{3}，1}）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3m+4n=1}\\{12m+n=1}\end{array}\right.$，∴m=$\frac{1}{15}$，n=$\frac{1}{5}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查椭圆的定义，属于中档题．