Question

【题目】已知函数

(I)若,函数的极大值为,求实数的值；

(Ⅱ)若对任意的 在上恒成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）

【解析】分析：（1）求出导函数，对分类讨论，根据单调性判断函数的极大值，确定的值即可；
（2）构造关于的函数令，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立，把问题转化为最值问题，对分类讨论得出的范围即可．

详解：

（Ⅰ）由题意，

.

①当时，，令，得；，得，

所以在单调递增，单调递减.所以的极大值为，不合题意.

②当时，，令，得；，得或，

所以在单调递增，，单调递减.

所以的极大值为，得.综上所述.

（Ⅱ）令，，当时，，

则对恒成立等价于，

即，对恒成立.

①当时，，，，此时，不合题意.

②当时，令，，

则，其中，，

令，则在区间上单调递增，

时，，

所以对，，从而在上单调递增，

所以对任意，，即不等式在上恒成立.

时，由，及在区间上单调递增，

所以存在唯一的使得，且时，.

从而时，，所以在区间上单调递减，

则时，，即，不符合题意.

综上所述，.