Question

2．如果二面角α-L-β的大小是60°，线段AB在α内，AB与L所成的角为60°，则AB与平面β所成角的正切值是$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

Answer 1

分析 过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作CD⊥l于D，连结AD，由三垂线定理证出AD⊥l，可得∠ADC为二面角α-L-β的平面角．连线CB，由AC⊥β可得∠ABC为AB与平面β所成的角，再利用解直角三角形知识，结合题中数据加以计算即可得出求出AB与平面β所成角的正弦值，根据同角三角函数的基本关系，即可AB与平面β所成角的正切值．

解答 解：过点A作平面β的垂线，垂足为C，在β内过C作l的垂线，垂足为D．
连结AD，根据三垂线定理可得AD⊥L，
因此，∠ADC为二面角α-L-β的平面角，∠ADC=60°
又∵AB与L所成角为60°，
∴∠ABD=60°，
连结BC，可得BC为AB在平面β内的射影，
∴∠ABC为AB与平面β所成的角．
设AD=2x，则Rt△ACD中，AC=ADsin60°=$\sqrt{3}$x，
Rt△ABD中，AB=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x
∴Rt△ABC中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=34，
∴tan∠ABC=$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$
故答案为：$\frac{{3\sqrt{7}}}{7}$．

点评 本题考查了二面角的平面角，考查了线面角，考查同角三角函数的基本关系，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．