Question

已知函数y=f（x）存在反函数，定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f^-1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”．
（1）判断函数g（x）=x²+1（x＞0）是否满足“1和性质”，说明理由；
（2）求所有满足“2和性质”的一次函数．

Answer 1

分析：（1）根据y=f（x）满足“a和性质”的定义可先根据求反函数的步骤求出g′(x)=

x-1

进而求出g′(x+1)=

x

①；再根据g（x）=x²+1（x＞0）求出g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）进而求出g（x+1）的反函数即g^′（x+1）②然后比较①②是否相同进而可根据定义得出结论．
（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f（x）=kx+b（k≠0）然后求出f^′（x）进而求出f^′（x+2）；再根据f（x+2）求出f^′（x+2）然后两者相等求出k，b所满足的条件．

解答：解：（1）不是；
∵g（x）=x²+1（x＞0）
∴y=g（x+1）=（x+1）²+1（x＞0）
∴x+1=

y-1

∴x=

y-1

-1
∴y=

x-1

-1即g′(x+1)=

x-1

-1(x＞2)①
∵g′(x)=

x-1

，，
∴g′(x+1)=

x

与①不符故函数g（x）=x²+1（x＞0）不满足“1和性质”
（2）设所有满足“2和性质”的一次函数为f（x）=kx+b（k≠0）
     则f^′（x）=

x-b

k

∴f′(x+2)=

x+2-b

k

∵f（x+2）=k（x+2）+b
∴f′(x+2)=

x-2k-b

k

∴

x+2-b

k

=

x-2k-b

k

∴k=-1
∴f（x）=-x+b

点评：本题主要考查了反函数的有关知识．解题的关键是要对“a和性质”理解透彻同时要对求反函数的步骤熟练（①反解求x②将x，y对调③标明反函数的定义域（即为原函数的值域））！