【题目】已知函数.
讨论的单调性.
若,求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增;(2).
【解析】
讨论当,时导数符号变化情况求得单调性由的讨论知:时,,解;时,<0,解符合;当时,,构造函数,,求导判单调性解a的不等式;时,,解a范围,则问题得解
(1)
当时,,;,.
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
当时,对恒成立,所以在上单调递增.
当时,,;,.
所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增.
(2)①当时,由(1)知在上单调递增,则在上单调递增,
所以 ,解得
②当时,由(1)知在上单调递减,在上单调递增.
当时,在上单调递增.
所以 对恒成立,则符合题意;
当时,在上单调递减,在上单调递增.
所以.
设函数,,
易得知时 ,
所以,
故对恒成立,即符合题意.
当时,在上单调递减.
所以 对恒成立,则符合题意.
综上所述:的取值范围为.
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【题目】给出三个命题:①直线上有两点到平面的距离相等,则直线平行平面;②夹在两平行平面间的异面直线段的中点的连线平行于这个平面;③过空间一点必有唯一的平面与两异面直线平行.正确的是( )
A. ②③B. ①②C. ①②③D. ②
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【题目】已知椭圆的离心率为,直线经过椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若直线与轴交于点,、是椭圆上的两个动点,且它们在轴的两侧,的平分线在轴上,|,则直线是否过定点?若过定点,求出定点坐标;若不过定点,请说明理由.
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【题目】已知点是抛物线上一点,为的焦点.
(1)若,是上的两点,证明:,,依次成等比数列.
(2)过作两条互相垂直的直线与的另一个交点分别交于,(在的上方),求向量在轴正方向上的投影的取值范围.
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【题目】若各项均不为零的数列的前项和为,数列的前项和为,且,.
(1)证明数列是等比数列,并求的通项公式;
(2)设,是否存在正整数,使得对于恒成立.若存在,求出正整数的最小值;若不存在,请说明理由.
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