Question

【题目】已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；

（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.

(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.

(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.

解：

．

是各项不为零的常数列,

则,

则由,

及得,

当时,,

两式作差,可得．

当时,满足上式,

则；

证明：,

当时,,

两式相减得：

即．

即．

又,

,

即．

当时,,

两式相减得：．

数列从第二项起是公差为的等差数列．

又当时,由得,

当时,由,得．

故数列是公差为的等差数列；

证明：由,当时,

,即,

,

,即,

即

,

当时,即．

故从第二项起数列是等比数列,

当时,．

．

另外,由已知条件可得,

又,

,

因而．

令,

则．

故对任意的恒成立．