【题目】在三棱柱中,,,,且.
(1)求证:平面平面;
(2)设二面角的大小为,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)要证明平面平面,只需证明平面即可;
(2)取的中点D,连接BD,以B为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,分别计算平面的法向量为与平面的法向量为,利用夹角公式计算即可.
(1)在中,,
所以,即.
因为,,,
所以.
所以,即.
又,所以平面.
又平面,所以平面平面.
(2)由题意知,四边形为菱形,且,
则为正三角形,
取的中点D,连接BD,则.
以B为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系,则
,,,,.
设平面的法向量为,
且,.
由得取.
由四边形为菱形,得;
又平面,所以;
又,所以平面,
所以平面的法向量为.
所以.
故.
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【题目】已知函数f(x)=2x-1,(a∈R),若对任意x1∈[1,+∞),总存在x2∈R,使f(x1)=g(x2),则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
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【题目】定义:若函数在区间上的值域为,则称区间是函数的“完美区间”,另外,定义区间的“复区间长度”为,已知函数,则( )
A.是的一个“完美区间”
B.是的一个“完美区间”
C.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
D.的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为
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【题目】某校倡导为特困学生募捐,要求在自动购水机处每购买一瓶矿泉水,便自觉向捐款箱中至少投入一元钱.现统计了连续5天的售出矿泉水箱数和收入情况,列表如下:
售出水量(单位:箱) | 7 | 6 | 6 | 5 | 6 |
收入(单位:元) | 165 | 142 | 148 | 125 | 150 |
学校计划将捐款以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生,规定:特困生综合考核前20名,获一等奖学金500元;综合考核21-50名,获二等奖学金300元;综合考核50名以后的不获得奖学金.
(1)若与成线性相关,则某天售出9箱水时,预计收入为多少元?
(2)假设甲、乙、丙三名学生均获奖,且各自获一等奖和二等奖的可能性相同,求三人获得奖学金之和不超过1000元的概率.
附:回归方程,其中.
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【题目】如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,平面平面ABCD,为等腰直角三角形,,,点E,F分别为BC,PD的中点,直线PC与平面AEF交于点Q.
(1)若平面平面,求证:.
(2)求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
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【题目】已知函数,a∈R.
(1)若函数f(x)在x=1处的切线为y=2x+b,求a,b的值;
(2)记g(x)=f(x)+ax,若函数g(x)在区间(0,)上有最小值,求实数a的取值范围;
(3)当a=0时,关于x的方程f(x)=bx2有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围.
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【题目】已知椭圆的中心为原点,左焦点为,离心率为,不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.
(1)若为线段的中点,求直线的方程.
(2)求点是直线上一点,点在椭圆上,且满足,设直线与直线的斜率分别为,问:是否为定值?若是,请求出的值;若不是,请说明理由.
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【题目】某单位为促进职工业务技能提升,对该单位120名职工进行一次业务技能测试,测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果,将它们编号后得到它们的统计结果如下表(表1)所示(“√”表示测试合格,“×”表示测试不合格).
表1:
编号\测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
规定:每项测试合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.
①设抽取的这10名职工中,每名职工测试合格的项数为,根据上面的测试结果统计表,列出的分布列,并估计这120名职工的平均得分;
②假设各名职工的各项测试结果相互独立,某科室有5名职工,求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在测试中,测试难度的计算公式为,其中为第项测试难度,为第项合格的人数,为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表(表2):
表2:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测合格人数 | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定义统计量,其中为第项的实测难度,为第项的预测难度().规定:若,则称该次测试的难度预测合理,否则为不合理,测试前,预估了每个预测项目的难度,如下表(表3)所示:
表3:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
预测前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判断本次测试的难度预估是否合理.
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【题目】圆锥(其中为顶点,为底面圆心)的侧面积与底面积的比是,则圆锥与它外接球(即顶点在球面上且底面圆周也在球面上)的体积比为( )
A. B. C. D.
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