Question

【题目】已知函数，a∈R.

（1）若函数f（x）在x＝1处的切线为y＝2x+b，求a，b的值；

（2）记g（x）＝f（x）+ax，若函数g（x）在区间（0，）上有最小值，求实数a的取值范围；

（3）当a＝0时，关于x的方程f（x）＝bx2有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2（2）a∈（0，）（3）b∈（0，）

【解析】

（1）求导得到f′（x），根据切线方程公式计算得到答案.

（2）g′（x），讨论a≤0和a＞0两种情况，根据函数的单调性求最值得到答案.

（3）方程等价于bx2﹣lnx﹣1＝0有两个不等的实数根，设h（x）＝bx2﹣lnx﹣1，则h′（x）＝2bx，讨论b≤0和b＞0两种情况，计算h（x）的最小值为h（），计算得到答案.

（1）∵，∴f′（x），

由题意可得，f′（1）＝1﹣a＝2，解得a＝﹣1，∴f（1）＝a+1＝0，

∴直线y＝2x+b过点（1，0），可得b＝﹣2；

（2）g（x）＝lnx，则g′（x）

若a≤0，则g′（x）0在（0，）上恒成立，

f（x）单调递增，∴a≤0不符合题意，

若a＞0，设G（x）＝ax2+x﹣a，则G（x）在（0，）上单调递增，

由题意，则应有G（0）＝﹣a＜0，G（）0，解得a，

则存在x0∈（0，），使得G（x0）＝0，

且当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，

当x∈（）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴g（x）在（0，）上的最小值为g（x0），

∴a∈（0，）；

（3）由题意可知，方程lnx+1＝bx2，即bx2﹣lnx﹣1＝0有两个不等的实数根，

设h（x）＝bx2﹣lnx﹣1，则h′（x）＝2bx.

当b≤0时，h′（x）＜0恒成立，h（x）单调递减，不可能有两个零点，

当b＞0时，令h′（x）＝0，解得x.

且当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，

当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，

∴h（x）的最小值为h（）.

由题意，应用h（）0，解得0＜b.

又∵h（）0，且，∴存在x1∈（），使得h（x1）＝0.

∵h（），设H（b），则H′（b），

且当x∈（0，1）时，H′（b）＜0，H（b）单调递减，

当x∈（1，）时，H′（b）＞0，H（b）单调递增，

∴H（b）≥H（1）＝0，即h（）≥0，

∵，∴存在x2∈（，]，使得h（x2）＝0.

综上，b∈（0，）.