Question

已知函数f（x）=2^x-

a

2x

．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）的图象．求函数y=g（x）的解析式；
（3）若函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称，求函数y=h（x）的解析式；
（4）设y=h（x）的最大值是m，且m＞2-

7

，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（0）=0可得1-a=0，故可求a的值；
（2）f（x）=2^x-

a

2x

的图象向右平移两个单位，利用图象变换规律，可得结论；
（3）函数y=h（x）的图象上任取点（x，y），关于直线y=1对称点坐标为（x，2-y），代入g（x）=2^x-2-

a

2x-2

，可得y=h（x）的解析式；
（4）利用y=h（x）的最大值是m，且m＞2-

7

，结合基本不等式，建立不等式，即可求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）由f（0）=0可得1-a=0，∴a=1；
（2）f（x）=2^x-

a

2x

的图象向右平移两个单位，得到y=g（x）=2^x-2-

a

2x-2

；
（3）函数y=h（x）的图象上任取点（x，y），关于直线y=1对称点坐标为（x，2-y），代入g（x）=2^x-2-

a

2x-2

，
可得y=h（x）=2-2^x-2+

a

2x-2

；
（4）∵y=h（x）的最大值是m，且m＞2-

7

，
∴根据基本不等式可得2-2

-a

＞2-

7

，
∴

7

4

＜a＜0．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数图象的变换，考查函数的最值，掌握函数图象的变换规律是关键．