Question

在直角坐标系xOy中，设P为两动圆（x+2）²+y²=（r+2）²，（x-2）²+y²=r²（r＞1）的一个交点，记动点P的轨迹为C．给出下列三个结论：
①曲线C过坐标原点；
②曲线C关于x轴对称；
③设点P（x，y），则有|y|＜|2x|．
其中，所有正确的结论序号是

②③

．

Answer 1

分析：根据P到两圆圆心的距离之差是定值，根据双曲线定义判断曲线类型，再写出方程；然后利用方程验证是否过原点，是否关于x轴对称，是否满足|y|＜|2x|即可．

解答：解：设A（-2，0），B（2，0），动点P（x，y），
根据题意：|PA|-|PB|=2
∴根据双曲线的定义判定，P点的轨迹是双曲线的右支，
方程式：

x2

1

-

y2

3

=1，（x＞0）
∵（0，0）不是方程的解，∴①不正确；
设点M（x，y）曲线上的任一点，M关于x轴的对称点为N（x，-y），
∵N的坐标也满足方程，∴N在曲线上，∴曲线C关于x轴对称，②正确；
∵4x²=4（1+

y2

3

）=4+

4

3

y²＞y²，∴|y|＜|2x|．故③正确．
答案是②③

点评：本题借助考查命题的真假判断，考查双曲线的定义及定义法求轨迹方程．
定义法求轨迹方程的基本步骤：根据条件判断动点轨迹类型--根据已知曲线的标准方程求出特征量--写出轨迹方程，再证明以方程的解为坐标的点都在曲线上．