Question

已知函数f（x）=lnx+（a＞0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤恒成立，求实数a的最小值；
（3）讨论关于x的方程f（x）=的实根情况．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+（a＞0）的定义域为（0，+∞），
则．
因为a＞0，由f^′（x）＞0得x∈（a，+∞），由f^′（x）＜0得x∈（0，a），
所以f（x）的单调递增区间为（a，+∞），单调递减区间为（0，a）．
（Ⅱ）由题意，以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足
（x₀＞0），
所以对x₀＞0恒成立．
又当x₀＞0时，，
所以a的最小值为．
（Ⅲ）由f（x）=，即．
化简得（x∈（0，+∞））．
令，则．
当x∈（0，1）时，h^′（x）＞0，
当x∈（1，+∞）时，h^′（x）＜0，
所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．
所以h（x）在x=1处取得极大值即最大值，最大值为．
所以
当-b＞0，即b＜0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有两个交点，方程f（x）=有两个实根，
当b=0时，y=h（x） 的图象与x轴恰有一个交点，方程f（x）=有一个实根，
当b＞0时，y=h（x） 的图象与x轴无交点，方程f（x）=无实根．
分析：（1）求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得原函数的单调区间；
（2）把原函数求导后直接得到斜率的表达式，代入k≤后把参数a分离出来，然后利用二次函数求最值得到实数a的最小值；
（3）把f（x）=lnx+代入f（x）=，整理后得，讨论原方程的根的情况，即讨论方程的根的情况，引入辅助函数，求导得到函数在（0，+∞）上的最大值，由最大值大于0，等于0，小于0分析b的取值情况．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了导数在求最值中的应用，训练了分离变量法求参数的取值范围，考查了数学转化思想和分类讨论的数学思想，属难度稍大的题型．