Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点。

（1）求直线BE与平面ABCD所成角的正切值；
（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离。

Answer 1

解：（1）取AD中点F，连接EF、BF，则EF//PA，
由侧棱PA⊥底面ABCD，
∴EF⊥底面ABCD，
则∠EBF为BE与平面ABCD所成角，
∴在△EBF中，EF=1，BF=，tan∠EBF= ，
即直线BE与平面ABCD所成角的正切值为。
（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则，
连PF，则在Rt△ADF中，，，
设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，
∵DF⊥AC，DF⊥PA，
∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC，
∴点N到AB的距离为，点N到AP的距离为。