Question

已知函数f（x）=lg（ax²+2x+1）．
（1）若f（x）的定义域是R，求实数a的取值范围及f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域是R，求实数a的取值范围及f（x）的定义域．

Answer 1

分析：本题考查的是函数的图象与性质问题．在解答时，对（1）由于函数f（x）的定义域是R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立．
解此恒成立问题即可获得实数a的取值范围，再结合二次函数最值的知识易得函数f（x）的值域；对（2）由于函数f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．然后利用二次函数的图象与性质即可获得问题的解答．

解答：解：（1）因为f（x）的定义域为R，所以ax²+2x+1＞0对一切x∈R成立．
由此得

a＞0 △=4-4a＜0

解得a＞1．
又因为ax²+2x+1=a（x+

1

a

）²+1-

1

a

＞0，
所以f（x）=lg（ax²+2x+1）≥lg（1-

1

a

），
所以实数a的取值范围是（1，+∞），
f（x）的值域是[lg(1-

1

a

)，+∞)．
（2）因为f（x）的值域是R，所以u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）．
当a=0时，u=2x+1的值域为R?（0，+∞）；
当a≠0时，u=ax²+2x+1的值域?（0，+∞）等价于

a＞0 4a-4 4a ≤0.

解之得0＜a≤1
所以实数a的取值范围是[0.1]当a=0时，由2x+1＞0得x＞-

1

2

，
f（x）的定义域是（-

1

2

，+∞）；
当0＜a≤1时，由ax²+2x+1＞0
解得x＜-

1+ 1-a

a

或x＞-

1- 1-a

a

f（x）的定义域是(-∞，-

1+ 1-a

a

)∪(-

1- 1-a

a

，+∞)．

点评：本题考查的是函数的图象与性质问题．在解答的过程当中充分体现了恒成立的思想、问题转化的思想以及数形结合的思想．值得同学们体会和反思．