Question

6．已知函数f（x）=e^x（x+a）-x²+bx，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=x-2．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的极值及其零点个数．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据f（0）以及f′（0）的值，求出a，b的值即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值以及零点的个数．

解答 解：（1）f′（x）=e^x（x+a+1）-2x+b，
由已知可得f（0）=a=-2，f′（0）=a+b+1=1，
解得a=-2，b=2．（4分）
（2）f′（x）=（e^x-2）（x-1），
由f′（x）＞0，得：x＜ln2或x＞1，
由f′（x）＜0，得：ln2＜x＜1，
∴f（x）的增区间为（-∞，ln2）与（1，+∞），减区间为（ln2，1），
∴f（x）的极大值为f（ln2）=-（2-ln2）²＜0，
极小值为f（1）=-e+1＜0，
故f（x）只有一个零点．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．