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(1)已知|
a
|=4,|
b
|=3,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61,求
a
b
的夹角θ;
(2)设
OA
=(2,5),
OB
=(3,1),
OC
=(6,3),在
OC
上是否存在点M,使
MA
MB
,若存在,求出点M的坐标,若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61求出
a
b
=-6然后再利用向量的夹角公式cos<
a
b
>=
a
b
|
a
||
b
|
再结合<
a
b
>∈[0,π]即可求出
a
b
的夹角θ.
(2)假设存在点M符合题意则可设
OM
OC
=(6λ,3λ)(0<λ≤1)
即M(6λ,3λ)从而求出
MA
MB
再根据
MA
MB
利用向量数量积的坐标计算再结合0<λ≤1即可求出λ进而求出点M.
解答:解:(1)∵(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61
4
a
2
-4
a
b
-3
b
2
=61

又∵|
a
|=4,|
b
|=3
a
b
=-6.…3分
cosθ=
a
b
|
a
|•|
b
|
=-
1
2

∴θ=120°.…6分
(2)设存在点M,且
OM
OC
=(6λ,3λ)(0<λ≤1)

MA
=(2-6λ,5-3λ),
MB
=(3-6λ,1-3λ)
.…8分
MA
MB

MA
MB
=0

∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0,…10分
45λ2-48λ+11=0,解得:λ=
1
3
或λ=
11
15

OM
=(2,1)或
OM
=(
22
5
11
5
)

∴存在M(2,1)或M(
22
5
11
5
)
满足题意.…16分.
点评:本题主要考查了利用数量积求向量的夹角,属常考题,较易.解题的关键是熟记向量的夹角公式cos<
a
b
>=
a
b
|
a
||
b
|
同时要注意<
a
b
>∈[0,π]这一隐含条件以及
MA
MB
的等价条件
MA
MB
=0
!
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

16、已知A={4,a2},B={a-6,1+a,9},如果A∩B={9},求A∪B.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知
a
=(4,2)
,求与
a
垂直的一个单位向量的坐标.
(2)若|
a
|=2,|
b
|=1,且
a
b
的夹角为120°
,求|
a
+
b
|
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(1)已知|
a
|=4,|
b
|=3,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61
,求
a
b
的值;
(2)设两个非零向量
e1
e2
不共线.如果
AB
=
e1
+
e2
BC
=2
e1
+8
e2
CD
=3
e1
-3
e2

求证:A、B、D三点共线.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(1)已知|
a
|=4,|
b
|=3,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=61
,求
a
b
的值;
(2)设两个非零向量
e1
e2
不共线.如果
AB
=
e1
+
e2
BC
=2
e1
+8
e2
CD
=3
e1
-3
e2

求证:A、B、D三点共线.

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同步练习册答案
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