Question

经过点且与直线相切的动圆的圆心轨迹为．点、在轨迹上，且关于轴对称，过线段（两端点除外）上的任意一点作直线，使直线与轨迹在点处的切线平行，设直线与轨迹交于点、．

（1）求轨迹的方程；

（2）证明：；

（3）若点到直线的距离等于，且△的面积为20，求直线的方程。

Answer 1

（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，．

整理，得．所以轨迹的方程为

方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线．

且其中定点为焦点，定直线为准线．

所以动圆圆心的轨迹的方程为．

（2）由（1）得，即，则．

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为．

由题意知点．设点，，

则，

即．

因为，．

由于，即．

所以．

（3）方法1：由点到的距离等于，可知．

不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：．

由

解得点的坐标为．

所以．

由（2）知，同理可得．

所以△的面积，

解得．

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即．

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即．

方法2：由点到的距离等于，可知．

由（2）知，所以，即．

由（2）知，．

所以．

即．        ①

由（2）知．           ②

不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得

因为，

同理． 

以下同方法1．

【解析】