Question

设函数f（x）=（x²+ax+a）•e^-x，其中x∈R，a是实数常数，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）当a=2时，求f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得f（x）的极大值为2，若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2代入，对函数求导，求得切线斜率及切点的坐标，从而可求切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，研究函数的单调区间，由单调区间求出函数的极大值，结合条件进行判断即可．

解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=（x²+2x+2）e^-x；f′（x）=-x²e^-x
当x=-1时，f′（-1）=-e，f（-1）=e
∴f（x）在（-1，f（-1））处的切线方程为y=-ex；
（Ⅱ）f′（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]
令f′（x）=0，得x=0或x=2-a，
分三种情况讨论：
①、a＞2时，2-a＜0，
分析可得，x=0时，f（x）取得极大值，
有f（x）_极大=（0）=a•e^-0=2，解可得a=2，
又由a＞2，此时无解；
②、a=2时，2-a=0，f′（x）≤0，
f（x）不存在极大值，不合题意；
③、a＜2时，2-a＞0，

由表可知f（x）_极大=f（2-a）=（4-a）e^a-2=2^，
又由a＜2，也无解；
故不存在实数a，使得f（x）的极大值为2．

点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查由函数的导数的符号变化研究函数的单调区间与极值，对于存在性问题常是先假设存在，再由假设推导，看是否产生矛盾．