Question

在直角坐标系xOy中，

i

，

j

分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，

OB

=2

i

+

j

，

OC

=3

i

+k

j

，若△OBC为直角三角形，则k的值为

-6或-1

．

Answer 1

分析：根据题意，计算可得

BC

，进而分3种情况讨论，①∠O=90°，即

OB

⊥

OC

，②∠B=90°，即

OB

⊥

BC

，③∠C=90°，即

OC

⊥

BC

，将垂直关系转化为数量积为0，由数量积的运算性质计算可得k的值，综合可得答案．

解答：解：根据题意，

BC

=

OC

-

OB

=（3

i

+k

j

）-（2

i

+

j

）=

i

+（k-1）

j

，
若△OBC为直角三角形，有3种情况，
①∠O=90°，即

OB

⊥

OC

，
则有（2

i

+

j

）•（3

i

+k

j

）=0，即k+6=0，解可得k=-6；
②∠B=90°，即

OB

⊥

BC

，
则有（2

i

+

j

）•[

i

+（k-1）

j

]=2+k-1=0，解可得k=-1；
③∠C=90°，即

OC

⊥

BC

，
则有（3

i

+k

j

）•[

i

+（k-1）

j

]=3+k（k-1）=0，
即k²-k+3=0，而其△＜0，故无解；
综合可得，k=-6或-1；
故答案为-6或-1．

点评：本题考查数量积的运算，解题时注意题意没有说明哪一个角是直角，需要分三种情况讨论．