Question

【题目】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点K(－1,0)为直线l与抛物线C准线的交点，直线l与抛物线C相交于A，B两点．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设·＝，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（1）y2＝4x（2）3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.

【解析】

（1）由点K（﹣1，0）为直线l与抛物线C准线的交点知－＝－1，从而可求抛物线C的方程；（2）设直线l的方程，联立直线方程与抛物线方程，根据·＝，结合韦达定理，即可求直线l的方程．

（1）依题意知－＝－1，解得p＝2,所以抛物线C的方程为y2＝4x.

（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且设直线l的方程为x＝my－1(m≠0)．

将x＝my－1代入y2＝4x，并整理，得y2－4my＋4＝0.

由Δ>0，得m2>1.从而y1＋y2＝4m，y1y2＝4.

所以x1＋x2＝(my1－1)＋(my2－1)＝4m2－2，

x1x2＝(my1－1)(my2－1)＝m2y1y2－m(y1＋y2)＋1＝1

因为＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，

·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(x1＋x2)＋1＋4＝8－4m2，

故8－4m2＝，解得m＝±满足m2>1.

所以直线l的方程为x＝±y－1.

即3x－4y＋3＝0或3x＋4y＋3＝0.