Question

已知函数f（x）在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立？并说明理由．

Answer 1

分析：根据函数单调性的定义，将不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）转化成关于k和sinx的不等式组恒成立．由此结合三角函数的最值加以计算，即可确定存在实数k=-1，满足题中的条件．

解答：解：由题意，可得
∵函数f（x）是定义在（-∞，1]上的减函数，不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）恒成立
∴不等式

k-sinx≤1  k2-sin 2x≤1  k-sinx≤k2-sin 2x

对一切实数x恒成立，
即

k≤sinx+1  k2≤sin 2x +1 k-k2≤sinx-sin 2x

对一切实数x恒成立，
由此可得k²≤（1+sin²x）_min且k-k²≤（sinx-sin²x）_max
∴k²≤1且k-k²≤-2解之得k=-1
即存在实数k=-1，使不等式f（k-sinx）≥f（k²-sin²x）对一切实数x恒成立．

点评：本题探索不等式恒成立的k值是否存在，着重考查了函数的单调性、三角函数的最值的函数恒成立问题的讨论等知识，属于中档题．