Question

已知函数f（x）=x³+x²，数列|x_n|（x_n＞0）的第一项x_n=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线与经过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线平行（如图）．
求证：当n∈N^*时，
（Ⅰ）x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1；
（Ⅱ）(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

Answer 1

分析：（1）曲线x=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线与经过（0，0）和（x_n，f （x_n））两点的直线平行，利用该条件可建立斜率相等的关系，故得到x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1
（2）不等关系的证明想到利用函数的单调性建立不等关系．

解答：解：证明：因为f'（x）=3x²+2x，
所以曲线y=f（x）在（x_n+1，f（x_n+1））处的切线斜率k_n+1=3x_n+1²+2x_n+1．
因为过（0，0）和（x_n，f（x_n））两点的直线斜率是x_n²+x_n，
所以x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1．
因为函数h（x）=x²+x当x＞0时单调递增，
而x_n²+x_n=3x_n+1²+2x_n+1≤4x_n+1²+2x_n+1=（2x_n+1）²+2x_n+1，
所以x_n≤2x_n+1，
即

xn+1

xn

≥

1

2

，
因此xn=

xn

xn-1

•

xn-1

xn-2

x2

x1

≥(

1

2

)n-1．
又因为x_n²+x_n≥2（x_n+1²+x_n+1），
令y_n=x_n²+x_n，
则

yn+1

yn

≤

1

2

．
因为y₁=x₁²+x₁=2，
所以yn≤(

1

2

)n-1•y1=(

1

2

)n-2．
因此xn≤

x

2 n

+xn≤(

1

2

)n-2，
故(

1

2

)n-1≤xn≤(

1

2

)n-2．

点评：本题主要考查函数的导数、数列、不等式等基础知识，以及不等式的证明，同时考查逻辑推理能力．