Question

已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则

S1

S2

为定值．

Answer 1

分析：（1）先求导数fˊ（x），在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0解得的区间为增区间和fˊ（x）＜0解得的区间为减区间，注意单调区间不能并；
（2）先求出点P₁与点P₂的横坐标的关系，再求定积分求出围成封闭图形的面积S₁，利用同样的方法求出面积S₂即可．

解答：解：（1）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
当x∈(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)时，f′（x）＞0；
当x∈(-

3

3

，

3

3

)时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)，单调递减区间为(-

3

3

，

3

3

)．
（2）曲线C与其在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 3 1 -1)x-2 x 3 1   y=x3-x

解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，进而有
S₁=|

∫

-2x1 x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

4 1

，用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得
x₃=-2x₂和S2=

27

4

x

4 2

，又x₂=-2x₁≠0，所以S₂≠0，因此有

S1

S2

=

1

16

点评：本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想．