Question

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面为正方形，O₁，O分别为上、下底面的中心，且A₁在底面ABCD的射影是O。

（Ⅰ）求证：平面O₁DC⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若点E，F分别在棱AA₁，BC上，且AE=2EA₁，问点F在何处时，EF⊥AD；
（Ⅲ）若∠A₁AB=60°，求二面角C-AA₁-B的大小（用反三角函数表示）。

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结，则O为AC，BD的交点，O1为A1C1，的交点。 由平行六面体的性质知：且， ∴四边形为平行四边形，， 又平面ABCD， ∴平面ABCD， 又平面， ∴平面⊥平面ABCD。 （Ⅱ）解：作EH⊥平面ABCD，垂足为H，则，点H在直线AC上， 且EF在平面ABCD上的射影为HF。 由三垂线定理及其逆定理，知， ， ∴AH=2HO，从而CH=2AH， 又， ∴CF=2BF，从而， ∴当F为BC的三等分点（靠近B）时，有EF⊥AD。 （Ⅲ）解：过点O作，垂足为M，连接BM， 平面ABCD， ∴， 又， ∴OB⊥平面， 由三垂线定理得， ∴∠OMB为二面角的平面角， 在Rt△AMB中，，∴， 又，∴， ∴， 即二面角的大小为。