Question

8．设双曲线$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1\;（mn＜0）$的一条渐近线为y=-2x，且一个焦点与抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点相同，则此双曲线的方程为（　　）

• A． $\frac{5}{4}{x^2}-5{y^2}=1$
• B． $5{y^2}-\frac{5}{4}{x^2}=1$
• C． $5{x^2}-\frac{5}{4}{y^2}=1$
• D． $\frac{5}{4}{y^2}-5{x^2}=1$

Answer 1

分析 求得抛物线的焦点，可得双曲线的焦点位置，设双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{n}$-$\frac{{x}^{2}}{-m}$=1（n＞0，m＜0），求出渐近线方程，可得n=-4m，n-m=1，解方程即可得到所求双曲线的方程．

解答 解：抛物线$y=\frac{1}{4}{x^2}$的焦点为（0，1），
则双曲线的焦点在y轴上，
双曲线的方程为$\frac{{y}^{2}}{n}$-$\frac{{x}^{2}}{-m}$=1（n＞0，m＜0）
则渐近线方程为y=±$\sqrt{\frac{n}{-m}}$x，
由题意可得$\sqrt{\frac{n}{-m}}$=2，
即n=-4m，
又n-m=1，
解得m=-$\frac{1}{5}$，n=$\frac{4}{5}$，
则双曲线的方程为$\frac{5}{4}$y²-5x²=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程和焦点坐标，以及抛物线的焦点，考查运算能力，属于基础题．