Question

已知命题p：方程a²x²+ax-2=0在[-1，1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0．若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：对方程a²x²+ax-2=0进行因式分解是解决该题的关键，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[-1，1]上，得出关于a的不等式，求出命题p为真的a的范围，利用x²+2ax+2a≤0相应的二次方程的判别式等于0得出关于a的方程，求出a，再根据“p或q”是假命题得出a的范围．

解答：解：由a²x²+ax-2=0，得（ax+2）（ax-1）=0，
显然a≠0，∴x=-

2

a

，或x=

1

a

．
∵x∈[-1，1]，∴|-

2

a

|≤1或|

1

a

|≤1，∴|a|≥1．
只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，即抛物线y=x²+2ax+2a与x轴只有一个交点，
∴△=4a²-8a=0，∴a=0或a=2．
∴命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a=0．
∵命题“p或q”为假命题，
∴a的取值范围为{a|-1＜a＜0或0＜a＜1}．
故答案：-1＜a＜0或0＜a＜1．

点评：本题考查命题真假的判断，利用因式分解求出方程的根是解决本题的关键，再根据一元二次不等式与二次方程的关系转化相应的不等式问题，考查学生的等价转化思想，考查学生对复合命题真假的判断准则．