Question

（本小题满分12分）已知椭圆经过点，且两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形．

（1）求椭圆的方程；

（2）动直线交椭圆C于A、B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过点T。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，，，椭圆经过点，代入得，得，

                          ………………………4分

（2）i）若n=0，

ii）若m=0,且过定点（0,1）………………………6分

iii）

设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂），则以AB为直径的圆的方程为

（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0                        …………………8分

∵

∴圆方程为：

将（0,1）代入显然成立，故存在T（0,1）符合题意。         …………………12分

【解析】（1）根据条件求得a、b的值；（2）先设m，n取两个值，求出两个圆的交点，就是定点，然后设A（x₁,y₁）,B（x₂,y₂），则以AB为直径的圆的方程为（x-x₁）（x-x₂）+（y-y₁）（y-y₂）=0  ，直线方程与椭圆方程联立代入得到含m，n的方程，将定点坐标代入恒成立。