【题目】已知在正整数n的各位数字中,共含有个1,
个2,,
个n.证明:
并确定使等号成立的条件.
【答案】见解析
【解析】
对正整数n的位数使用数学归纳法.
当是一位数,即
时,所证式显然成立,
这是因为,此时的十进制表达式中只有一位数字
,
即,其余
,所以,左边=
=右边.
假设当正整数不超过k位,即
时,结论皆成立.
现考虑为
位数,即
时的情形.
设的首位数字为r.则
. ①
若,则在数
的各位数字中,
,其余
.
显然,.
若,记
的各位数字中含有
个1,
个2,…,
个r,…,
个9.
则的各位数字中,含有
个r、
个j
.
注意到,正整数不超过k位.
由归纳法假设,对有
②
则当为
位数时,结论也成立.
故由数学归纳法,知对一切正整数,结论皆成立.
欲使等号成立,由证明过程,知要么为一位数;要么在
的位数大于或等于2时,由式②,必须
,此时,由式①得
,
即可表示为
的形式.
上述条件也是充分的,当能够表成以上形式时,有
,其余
.
故
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【题目】学习了余弦定理后,老师布置了一个课外任务,让同学们自己制作一些直角三角形、锐角三角形或钝角三角形的模型,现在李明和王强同学已经有了两根长度分别为和
的铁丝.
(1)如果他们希望能够制作一个直角三角形,那么他们需要的第三根铁丝的长度应该是多少?
(2)如果他们希望能够制作一个钝角三角形,那么他们需要的第三根铁丝的长度应该在什么范围?制作一个锐角三角形呢?
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【题目】已知椭圆的焦距为2,过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为
,过椭圆
的右焦点作斜率为
的直线
与椭圆
相交于
两点,线段
的中点为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点垂直于
的直线与
轴交于点
,且
,求
的值.
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,
,
,
,
,
,
为侧棱
上一点.
(1)若,求证:
平面
;
(2)求证:平面平面
;
(3)在侧棱上是否存在点
,使得
平面
? 若存在,求出线段
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】某地海军航空实验班面向全省遴选学员,有名初中毕业生踊跃报名投身国防,经过文化考试、体格测试、政治考核、心理选拔等过程筛选,最终招收
名学员。培养学校在关注学员的文化素养同时注重学员的身体素质,要求每月至少参加一次野营拉练活动(下面简称“活动”)并记录成绩.
月某次活动中海航班学员成绩统计如图所示:
(1)根据图表,试估算学员在活动中取得成绩的中位数(精确到);
(2)根据成绩从、
两组学员中任意选出两人为一组,若选出成绩分差大于
,则称该组为“帮扶组”,试求选出两人为“帮扶组”的概率.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C:y=
与直线
(
>0)交与M,N两点,
(Ⅰ)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;
(Ⅱ)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.
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【题目】如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是 _________ .
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【题目】已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)问:是否存在过点的直线l,使以直线l被椭圆E所截得的弦
为直径的圆过点
,若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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