Question

【题目】已知在正整数n的各位数字中，共含有个1，个2，，个n．证明：并确定使等号成立的条件．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

对正整数n的位数使用数学归纳法．

当是一位数，即时，所证式显然成立，

这是因为，此时的十进制表达式中只有一位数字，

即，其余，所以，左边==右边．

假设当正整数不超过k位，即时，结论皆成立．

现考虑为位数，即时的情形．

设的首位数字为r．则. ①

若，则在数的各位数字中，，其余.

显然，.

若，记的各位数字中含有个1，个2，…，个r，…，个9．

则的各位数字中，含有个r、个j.

注意到，正整数不超过k位．

由归纳法假设，对有

②

则当为位数时，结论也成立．

故由数学归纳法，知对一切正整数，结论皆成立．

欲使等号成立，由证明过程，知要么为一位数；要么在的位数大于或等于2时，由式②，必须，此时，由式①得，

即可表示为的形式.

上述条件也是充分的，当能够表成以上形式时，有，其余.

故