【题目】如图6,四棱柱的所有棱长都相等,,四边形和四边形为矩形.
(1)证明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1) 详见解析 (2)
【解析】
试题分析:(1)要证明线面垂直,只需要在面内找到两条相交的线段与之垂直即可,即证明与垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面为菱形,进而得到均为中点,得到三者相互平行,四边形均为矩形与平行相结合即可得到与垂直,进而证明线面垂直.
(2)要求二面角,此问可以以以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,利用空间向量的方法得到二面角的余弦值,在此说明第一种方法,做出二面角的平面角, 过作的垂线交于点,连接.利用(1)得到,在利用四边形为菱形,对角线相互垂直,两个垂直关系即可得到垂直于平面,进而得到,结合得到线面垂直,说明角即为哦所求二面角的平面角,设四棱柱各边长为,利用勾股定理求出相应边长即可得到角的余弦值,进而得到二面角的余弦值.
(1)证明:四棱柱的所有棱长都相等
四边形和四边形均为菱形
分别为中点
四边形和四边形为矩形
且
又且底面
底面.
(2)法1::过作的垂线交于点,连接.不妨设四棱柱的边长为.
底面且底面面
面
又面
四边形为菱形
又且,面
面
又面
又且,面
面
为二面角的平面角,则
且四边形为菱形
,,
则
再由的勾股定理可得,
则,所以二面角的余弦值为.
法2:因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形是菱形,因此,又面,从而两两垂直,如图以为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立三维直角坐标系,不妨设,因为,所以,,于是各点的坐标为:,已知是平面的一个法向量,设是平面的一个法向量,则,,取,则,
所以,,故二面角的余弦值为.
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【题目】2015年推出一种新型家用轿车,购买时费用为16.9万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元,汽车的维修费为:第一年无维修费用,第二年为0.2万元,从第三年起,每年的维修费均比上一年增加0.2万元.
(I)设该辆轿车使用n年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f(n),求f(n)的表达式;
(II)这种汽车使用多少报废最合算(即该车使用多少年,年平均费用最少)?
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【题目】如图,已知圆O:和点,由圆O外一点P向圆O引切线,Q为切点,且有 .
(1)求点P的轨迹方程,并说明点P的轨迹是什么样的几何图形?
(2)求的最小值;
(3)以P为圆心作圆,使它与圆O有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.
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【题目】一个盒子中装有大小相同的小球个,在小球上分别标有1,2,3…,的号码,已知从盒子中随机取出两个球,两球号码的最大值为的概率为.
(Ⅰ)盒子中装有几个小球?
(Ⅱ)现从盒子中随机地取出4个球,记所取4个球的号码中,连续自然数的个数的最大值为随机变量(如取标号分别为2,4,6,8的小球时;取标号分别为1,2,4,6的小球时;取标号分别为1,2,3,5的小球时),求的值.
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【题目】已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.7.现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次,至少击中2次的概率:先由计算器算出0~9之间取整数值的随机数,指定0,1,2表示没有击中目标,3,4,5,6,7,8,9表示击中目标;因为射击4次,故以每4个随机数为一组,代表射击4次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
5727 0293 7140 9857 0347
4373 8636 9647 1417 4698
0371 6233 2616 8045 6011
3661 9597 7424 6710 4281
据此估计,该射击运动员射击4次至少击中2次的概率为( )
A. 0.8 B. 0.85 C. 0.9 D. 0.95
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