Question

15．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₁，a₇，a₃₇成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）得${S_n}=2{n^2}+4n$，从而$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$，由此利用裂项求和法能求出数列$\left\{{\frac{1}{S_n}}\right\}$的前n项和．

解答 解：（1）因为数列{a_n}是等差数列，
所以a_n=a₁+（n-1）d，${S_n}=n{a_1}+\frac{{n（{n-1}）}}{2}d$． …（1分）
依题意，有$\left\{\begin{array}{l}{{S}_{5}=5{a}_{1}+10d=70}\\{（{a}_{1}+6d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+35）}\end{array}\right.$，…（3分）
解得a₁=6，d=4．    …（5分）
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=4n+2（n∈N^*）．   …（6分）
（2）由（1）可得${S_n}=2{n^2}+4n$．           …（7分）
所以$\frac{1}{S_n}=\frac{1}{{2{n^2}+4n}}=\frac{1}{{2n（{n+2}）}}$=$\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$．     …（9分）
所以${T_n}=\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{{{S_{n-1}}}}+\frac{1}{S_n}$
=$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{3}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+…+\frac{1}{4}（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+\frac{1}{4}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$…（11分）
=$\frac{1}{4}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）$．   …（12分）

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．