Question

已知椭圆中心在原点，焦点在y轴上，长轴长为6，离心率为

2

3

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆在y轴的正半轴上的焦点为M，点A，B在椭圆上，且

AM

=2

MB

，求线段AB所在直线的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．由已知可得2a=6，

c

a

=

2

3

，又a²=b²+c²，联立解得即可．
（2）M（0，2）．设直线AB的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立可得根与系数的关系，又

AM

=2

MB

，可得-x₁=2x₂．联立解得即可．

解答： 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）．
∵长轴长为6，离心率为

2

3

．∴2a=6，

c

a

=

2

3

，又a²=b²+c²，
联立解得a=3，c=2，b²=5．
∴椭圆的标准方程为

y2

9

+

x2

5

=1．
（2）M（0，2）．
设直线AB的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+2 y2 9 + x2 5 =1

，化为（9+5k²）x²+20kx-25=0，
∴x₁+x₂=

-20k

9+5k2

，x₁x₂=

-25

9+5k2

．
又

AM

=2

MB

，∴-x₁=2x₂．
联立可得

-800k2

(9+5k2)2

=

-25

9+5k2

，解得k2=

1

3

．
∴k=±

3

3

．
∴直线AB的方程为y=±

3

3

x+2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量的坐标运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．