Question

20．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数）．
（1）求曲线C上的动点M和直线l上的动点N的距离的最小值；
（2）求过曲线C上某一点与直线l平行的切线被曲线C关于y轴对称的曲线C′所截得的弦AB的长度．

Answer 1

分析 （1）分别把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离d，即可得出最小值；
（2）曲线C关于于y轴对称的曲线C′为（x+2）²+y²=4．设与直线l平行的圆C的切线为x-$\sqrt{3}$y+m=0，利用直线与圆相切的充要条件可得m，进而得出答案．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，化为x²+y²=4x，平方为（x-2）²+y²=4，可得圆心C（2，0），半径r=2．
直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-3+tcos\frac{π}{6}}\\{y=tsin\frac{π}{6}}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为$x-\sqrt{3}y+3=0$，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{|2-0+3|}{\sqrt{{1}^{2}+（-\sqrt{3}）^{2}}}$=$\frac{5}{2}$，
∴曲线C上的动点M和直线l上的动点N的距离的最小值=d-r=$\frac{1}{2}$；
（2）曲线C关于于y轴对称的曲线C′为（x+2）²+y²=4．
设与直线l平行的圆C的切线为x-$\sqrt{3}$y+m=0，
则$\frac{|2-0+m|}{2}$=2，解得m=2或-6．
取m=2，可得切线x-$\sqrt{3}$y+2=0，
∵圆心（-2，0）经过上述直线．
∴所截得的弦AB的长度为圆的直径4．

点评 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．