Question

10．已知点A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是函数f（x）=2^x的图象上任意不同的两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立．运用类比的思想方法可得下列结论
（1）f（x）=sinx，（0＜x＜π）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（2）f（x）=lnx有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（3）f（x）=x³，（x＞0）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
（4）f（x）=tanx，（0＜x＜$\frac{π}{2}$）有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立
其中，正确的结论的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据函数y=2^x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，再根据函数图象的特征，即可类比得到相应的不等式．

解答 解：∵函数y=2^x上任意两点A，B两点之间函数图象的上方，
∴函数y=2^x上的图象是向下凹的，
可得不等式$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$），
据此，（1）y=sinx（x∈（0，π））图象可以看出：y=sinx（x∈（0，π））图象是向上凸的，故可知$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＜f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故不正确；
（2）f（x）=lnx是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故不正确；
（3）f（x）=x³，（x＞0）是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故正确；
（4）f（x）=tanx，（0＜x＜$\frac{π}{2}$）是向下凹的，有$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$＞f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）成立，故正确．
故选：B．

点评 本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法．