Question

2．已知函数f（x）=|2x-a|+a．
（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-2≤x≤3}，求实数a的值．
（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（$\frac{1}{2}$n）≤m-f（-n）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，解得a-3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，从而求得a的值．
（2）由题意可得|n-1|+|2n-1|+2≤m，构造函数y=|n-1|+|2n-1|+2，求得y的最小值，从而求得m的范围．

解答 解：（1）原不等式可化为|2x-a|≤6-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}6-a≥0\\ a-6≤2x-a≤6-a\end{array}\right.$，
解得a-3≤x≤3．
再根据不等式f（x）≤6的解集为[-2，3]，可得a-3=-2，
∴a=1．
（2）∵f（x）=|2x-1|+1，f（$\frac{1}{2}$n）≤m-f（-n），
∴|n-1|+1≤m-（|-2n-1|+1），
∴|n-1|+|2n+1|+2≤m，
∵y=|n-1|+|2n+1|+2，
当n≤-$\frac{1}{2}$时，y=-3n+2≥$\frac{7}{2}$，
当-$\frac{1}{2}$≤n≤1时，y=n+2≥$\frac{5}{2}$，
当n≥1时，y=3n≥3，
故函数y=|n-1|+|2n-1|+2的最小值为$\frac{5}{2}$，
∴m≥$\frac{5}{2}$，
即m的范围是[$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．