Question

13．求下列函数的值域．
（1）f（x）=$\frac{3x+2}{4x-1}$；
（2）f（x）=$\frac{3x}{2{x}^{2}+2x+1}$；
（3）f（x）$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{2{x}^{2}+2x+1}$．

Answer 1

分析 （1）利用分离常数法f（x）=$\frac{3}{4}$+$\frac{11}{4}$•$\frac{1}{4x-1}$，从而求函数的值域；
（2）讨论x是否是0，从而利用基本不等式求函数的值域；
（3）令$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{2{x}^{2}+2x+1}$=y，从而化简可得（3-2y）x²+（2-2y）x+1-y=0，从而利用判别式求函数的值域．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{3x+2}{4x-1}$=$\frac{3}{4}$+$\frac{11}{4}$•$\frac{1}{4x-1}$；
故函数的值域为{y|y≠$\frac{3}{4}$}；
（2）f（x）=$\frac{3x}{2{x}^{2}+2x+1}$，
当x=0时，f（0）=0，
当x≠0时，f（x）=$\frac{3}{2x+\frac{1}{x}+2}$，
∵2|x|+$\frac{1}{|x|}$≥2$\sqrt{2}$，
∴-$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$≤f（x）＜0或0＜f（x）≤$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$，
∴函数的值域为[-$\frac{3+3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}-3}{2}$]；
（3）f（x）=$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{2{x}^{2}+2x+1}$的定义域为R，
令$\frac{3{x}^{2}+2x+1}{2{x}^{2}+2x+1}$=y得，
（3-2y）x²+（2-2y）x+1-y=0，
当3-2y=0时，y=$\frac{3}{2}$；
当3-2y≠0时，△=（2-2y）²-4（3-2y）（1-y）≥0，
∴1≤y≤2；
综上所述，函数的值域为[1，2]．

点评 本题考查了函数的值域的求法及基本不等式的应用，属于基础题．