Question

4．求函数y=2^x+2-3•4^x，x∈[-1，0]的值域．

Answer 1

分析 根据函数y的解析式与自变量的取值范围，求出函数y的最大、最小值即可．

解答 解：∵函数y=2^x+2-3•4^x
=2²•2^x-3•（2^x）²
=-3[（2^x）²-$\frac{4}{3}$•2^x+$\frac{4}{9}$]+$\frac{4}{3}$
=-3${{（2}^{x}-\frac{2}{3}）}^{2}$+$\frac{4}{3}$，
∴当x∈[-1，0]时，2^x∈[$\frac{1}{2}$，1]，
∴当2^x=$\frac{2}{3}$，即x=log₂$\frac{2}{3}$=1-log₂3时，函数y取得最大值$\frac{4}{3}$，
当2^x=1，即x=0时，函数y取得最小值1；
∴函数y的值域是[1，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题考查了复合函数的性质与应用问题，也考查了求函数最值的应用问题，是基础题目．