Question

17．设函数f（x）=（x-1）²（x+a）e^x，x=1是f（x）的一个极大值点，求a的取值．

Answer 1

分析 求函数的导数，利用x=1是f（x）的一个极大值点，得到f′（1）=0，然后进行验证即可．

解答 解：函数的导数为f′（x）=e^x[（x-1）²（x+a）]+e^x[（x-1）²（x+a）]′，
∴f′（x）=e^x（x-1）[x²+（a+1）x-1]，
设g（x）=x²+（a+1）x-1，则△=（a+1）²+4＞0，所以g（x）有两个不相等的实根．
于是可设x₁，x₂是g（x）=0的两实根，且x₁＜x₂，
①当x₁=1或x₂=1时，则x=1不是f（x）的极值点，此时不合题意；
②当x₁≠1且x₂≠1时，由于x=1是f（x）的极大值点，故x₁＜1＜x₂，即g（1）＜0，
即1²+（1+a）-1＜0，所以a＜-1，
所以a的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题主要考查导数与函数的极值之间的关系，考查导数的基本运算，综合性性较强，难度较大．