Question

19．等差数列{a_n}中，a₁＜0，S₈=S₁₃，使得前n项和S_n取到最小值的n的值为10或11．

Answer 1

分析 设等差数列的公差为d，根据等差数列的前n项和的公式化简S₈=S₁₃，得到首项与公差的关系式，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：由S₈=S₁₃得：
8a₁+$\frac{8×7}{2}$d=13a₁+$\frac{13×12}{2}$d，
解得：a₁=-10d，又a₁＜0，得到d＞0，
所以S_n=na₁+$\frac{n×（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²+（a₁-$\frac{d}{2}$）n，
由d＞0，得到S_n是一个关于n的开口向上抛物线，且S₈=S₁₃，
则函数的对称轴为n=$\frac{8+13}{2}=\frac{21}{2}$，
∴当n=$\frac{20}{2}=10$或n=$\frac{22}{2}=11$时，S_n取到最小值，
故答案为：10或11

点评 本题主要考查了等差数列的性质，考查了二次函数的图象与性质，是一道综合题．