Question

【题目】已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且 ﹣ = ，S6=63．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N* ， bn是log2an和log2an+1的等差中项，求数列{（﹣1）n bn2}的前2n项和．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设{an}的公比为q，则 ﹣ = ，即1﹣ = ，

解得q=2或q=﹣1．

若q=﹣1，则S6=0，与S6=63矛盾，不符和题意．∴q=2，

∴S6= =63，∴a1=1．

∴an=2n﹣1

（2）

解：∵bn是log2an和log2an+1的等差中项，

∴bn= （log2an+log2an+1）= （log22n﹣1+log22n）=n﹣ ．

∴bn+1﹣bn=1．

∴{bn}是以 为首项，以1为公差的等差数列．

设{（﹣1）nbn2}的前n项和为Tn，则

Tn=（﹣b12+b22）+（﹣b32+b42）+…+（﹣b2n﹣12+b2n2）=b1+b2+b3+b4…+b2n﹣1+b2n= = =2n2．

【解析】（1）根据等比数列的通项公式列方程解出公比q，利用求和公式解出a1 ， 得出通项公式；
（2）利用对数的运算性质求出bn ， 使用分项求和法和平方差公式计算．
本题考查了等差数列，等比数列的性质，分项求和的应用，属于中档题．