Question

2．甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲乙做对的概率分别为$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{3}$，丙做对的概率为m，且三位学生是否做对相互独立．记ξ为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{4}$	a	b	$\frac{1}{24}$

（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求m的值；
（3）求ξ的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立事件，由此能求出至少有一位学生做对该题的概率．
（2）设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，由题意得P（ξ=3）=P（ABC），由此能求出m．
（3）由题意先求出a和b，由此利用分布列能求出ξ的数学期望．

解答 解：（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“ξ=0”是对立事件，
∴由已知得至少有一位学生做对该题的概率p=1-P（ξ=0）=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（2）设“甲做对”为事件A，“乙做对”为事件B，“丙做对”为事件C，
由题意得P（A）=$\frac{1}{2}$，P（B）=$\frac{1}{3}$，P（C）=m，
由题意得P（ξ=3）=P（ABC）=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×m$=$\frac{1}{24}$，
解得m=$\frac{1}{4}$．
（3）由题意得：
a=P（ξ=1）=P（A$\overline{B}\overline{C}$）+P（$\overline{A}B\overline{C}$）+P（$\overline{A}\overline{B}C$）
=$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）（1-\frac{1}{4}）+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）$+$\frac{1}{2}×（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{4}$
=$\frac{11}{24}$．
b=P（ξ=2）=1-P（ξ=0）-P（ξ=1）-P（ξ=3）
=1-$\frac{1}{4}$-$\frac{11}{24}$-$\frac{1}{24}$
=$\frac{1}{4}$，
∴ξ的数学期望Eξ=$0×\frac{1}{4}+1×\frac{11}{24}+2×\frac{1}{4}+3×\frac{1}{24}$=$\frac{13}{12}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意排列组合知识的合理运用．