Question

（本小题满分14分）设数列满足，， 。

数列满足是非零整数，且对任意的正整数和自然数，都有

。

（1）求数列和的通项公式；

（2）记，求数列的前项和。

 

Answer 1

（1）an =，；

（2）

【解析】

试题分析：（1）由递推公式构造等比数列可得，再累加得an =；由题意对正整数和自然数赋值可得∴b2=-1，同理得∴b3=1，以此类推可得n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；∴.

（2）由（1）得，故分n为奇数和n为偶数两种情况来求，求解过程中注意错位相减法的应用.

试题解析：【解析】
（1）由得

(n≥3)

又a2-a1=1≠0，

∴数列{an+1-an}是首项为1公比为的等比数列，

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1)

=，

由 得b2=-1，由 得b3=1，…

同理可得当n为偶数时，bn=-1；当n为奇数时，bn=1；

因此

（2）

Sn=c1+c2+c3+c4+…+cn

当n为奇数时，

=

当n为偶数时

=

令Tn= ……①

①×得：Tn= ……②

①-②得：Tn =

= ∴Tn =

∴

考点：数列求通项公式和数列求和的综合问题