Question

15．为解决蔬菜保鲜问题，很多菜农在政府的引导下投资建立冷库，把蔬菜的销售时间延长，某菜农计划在自己的住房旁边建一个长方体型简易冷库，高度为2米，利用现有的住房的一面墙作为冷库的东墙，冷库的西墙利用钢结构，每平方米造价200元，南北两墙砌砖，每平方米造价225元，顶部每平方米造价200元．设西墙的长度为x元，冷库的占地面积为S平方米．
（1）若S=121，则该菜农至少需要投资多少元？
（2）若菜农计划投资32000元，求S的最大值及此时x的值．

Answer 1

分析 （1）通过S=121可知南墙的长度为$\frac{121}{x}$米，进而投资为2×225×$\frac{121}{x}$×2+200×x×2+200×121，利用基本不等式计算即得结论；
（2）通过32000=2×225×$\frac{S}{x}$×2+200×x×2+200S，整理得S=-[（2x+9）+$\frac{169×9}{2x+9}$]+178，利用基本不等式计算即得结论．

解答 解：（1）依题意，南墙的长度为$\frac{121}{x}$米，
故投资为2×225×$\frac{121}{x}$×2+200×x×2+200×121
=24200+100（$\frac{1089}{x}$+4x）
≥24200+200×$\sqrt{\frac{1089}{x}×4x}$
=37400（元），
当且仅当$\frac{1089}{x}$=4x即x=16.5时取最小值；
（2）依题意，32000=2×225×$\frac{S}{x}$×2+200×x×2+200S，
整理得：320=9•$\frac{S}{x}$+4x+2S，
∴S=$\frac{320-4x}{\frac{9}{x}+2}$
=$\frac{（-4{x}^{2}+320x+169×9）-169×9}{2x+9}$
=-2x+169-$\frac{169×9}{2x+9}$
=-[（2x+9）+$\frac{169×9}{2x+9}$]+178
≤-2$\sqrt{（2x+9）•\frac{169×9}{2x+9}}$+178
=-2×39+178
=100，
当且仅当2x+9=$\frac{169×9}{2x+9}$即x=15时S取最大值．

点评 本题考查函数模型的选择与应用，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．