Question

20．在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=3：4：5，CD⊥AB于D，AC=10$\sqrt{2}$．
（I）求∠A，∠B，∠C的大小；
（Ⅱ）求CD的长；
（Ⅲ）求BC的长．

Answer 1

分析 （I）设∠A=3α，则∠B=4α，∠C=5α，再根据3α+4α+5α=180°，可得α=15°，从而求得∠A、∠B、∠C的值．
（Ⅱ）△ABC中，根据CD=AC•sinA，计算求得结果．
（Ⅲ）△BCD中，根据BC=$\frac{CD}{sinB}$，计算求得结果．

解答 解：（I）在△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=3：4：5，设∠A=3α，则∠B=4α，∠C=5α，
再根据3α+4α+5α=180°，可得α=15°，∴∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°．
（Ⅱ）∵CD⊥AB于D，AC=10$\sqrt{2}$，△ABC中，CD=AC•sinA=10$\sqrt{2}$•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=10，
（Ⅲ）△BCD中，BC=$\frac{CD}{sinB}$=$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{20\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查三角形的内角和公式，直角三角形中的边角关系，属于基础题．