Question

8．万佛湖风景区是中国首批、安徽省首家的“国家AAAA级旅游区”，近年旅游业发展迅猛，景区现欲申请一笔不超过五千万元五年期的贷款进行景区服务升级，已知投资x（百万元）可创造的就业岗位w=-$\frac{1}{8}$x²+10x个，每个岗位每年可创造利润4万元．（注：此笔贷款年利率为单利2%，即每100万元年利息为2万元，5年利息共10万元）
（1）如想在五年内收回投资，求x的取值范围；
（2）创造的就业岗位与此次五年期的景区改造创造的利润能否同时取得最大值？

Answer 1

分析 （1）通过贷款年利率可知贷款x百万元5年利息共0.1x百万元，进而解不等式5×4w＞x+0.1x、计算即得结论；
（2）通过由（1）结合导数知识可知当x=39.78时此次五年期的景区改造创造的利润取得最大值，当x=40时就业岗位达到最大值，进而可得结论．

解答 解：（1）∵每贷款100万元5年利息共10万元，
∴贷款x百万元5年利息共0.1x百万元，
依题意要想在五年内收回投资即5×4w＞x+0.1x，
∴20（-$\frac{1}{8}$x²+10x）＞x+0.1x，
整理得：20x²＜1591.2x，
解得：x＜79.56，
∴x的取值范围是（0，79.56）；
（2）结论：创造的就业岗位与此次五年期的景区改造创造的利润不能同时取得最大值．
理由如下：
由（1）可知此次五年期的景区改造创造的利润y=20（-$\frac{1}{8}$x²+10x）-1.1x=-$\frac{5}{2}$x²+198.9x，
令y′=-5x+198.9=0，解得：x=39.78，
∴当x=39.78时y取得最大值，
令w′=-$\frac{1}{4}$x+10=0，解得：x=40，
即当x=40时就业岗位达到最大值，
显然创造的就业岗位与此次五年期的景区改造创造的利润不能同时取得最大值．

点评 本题考查根据实际问题选择函数类型，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题．