Question

19．某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代号t	1	2	3	4	5	6	7
人均纯收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）求$\overline{t}$，$\overline{y}$并完成表格；
（2）求y关于t的线性回归方程；
（3）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．
$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{t_i}-{{\overline{t}}_{\;}}）（{y_i}-\overline{y}）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{t_i}-{{\overline{t}}}）}^2}}}}$．$\overline{t}$．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，计算$\overline{t}$与$\overline{y}$即可；
（2）根据题目中的公式，计算$\stackrel{∧}{b}$与$\stackrel{∧}{a}$，写出线性回归方程即可；
（3）根据线性回归方程分析该地区农村居民家庭人均纯收入y随着t的变化情况，计算t=9时，$\stackrel{∧}{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，得$\overline{t}$=$\frac{1}{7}$（1+2+3+4+5+6+7）=4，
$\overline{y}$=$\frac{1}{7}$（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3；
（2）根据公式，得
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（1-4）（2.9-4.3）+（2-4）（3.3-4.3）+…+（7-4）（5.9-4.3）}{{（1-4）}^{2}{+（2-4）}^{2}{+…+（7-4）}^{2}}$=0.5，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{t}$=4.3-0.5×4=2.3，
∴y关于t的线性回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3；
（3）根据线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=0.5t+2.3，得
2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入y随着t的增加而增加的，
且t=9时，$\stackrel{∧}{y}$=0.5×9+2.3=6.8，
即预测该地区2015年的农村居民家庭人均纯收入为6.8（千元）．

点评 本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．