Question

11．已知函数$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x+msin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
（1）当m=0时，求f（x）的最小正周期并求f（x）在$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}]$上的取值范围
（2）当tanα=2时，f（α）=$\frac{3}{5}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系式化简．
（1）把m=0代入，整理后可求正确，再利用x的范围求得相位的范围，则f（x）在$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}]$上的取值范围可求；
（2）直接利用万能公式化为关于tanα的代数式，代值后可求m的值．

解答 解：$f（x）=（1+\frac{1}{tanx}）{sin^2}x+msin（x+\frac{π}{4}）sin（x-\frac{π}{4}）$
=$（\frac{sinx+cosx}{sinx}）si{n}^{2}x-msin（x+\frac{π}{4}）cos（\frac{π}{4}+x）$
=$si{n}^{2}x+sinxcosx-\frac{1}{2}msin（2x+\frac{π}{2}）$
=$\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}mcos2x$
=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{1}{2}（m+1）cos2x+\frac{1}{2}$．
（1）当m=0时，f（x）=$\frac{1}{2}（sin2x-cos2x）+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$．
T=$\frac{2π}{2}=π$．
∵x∈$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{4}]$，∴2x-$\frac{π}{4}$∈[0，$\frac{5π}{4}$]，
则f（x）∈[0，$\frac{\sqrt{2}+1}{2}$]；
（2）tanα=2时，f（α）=$\frac{1}{2}sin2α-\frac{1}{2}（m+1）cos2α+\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}\frac{2tanα}{1+ta{n}^{2}α}-\frac{1}{2}（m+1）\frac{1-ta{n}^{2}α}{1+ta{n}^{2}α}+\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}×\frac{4}{5}-\frac{1}{2}（m+1）×\frac{-3}{5}+\frac{1}{2}$=$\frac{3}{5}$，
解得：m=-2．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象和性质，考查计算能力，是中档题．