Question

1．已知一次函数（x）满足f[f（x）]=x-4，试求函数y=$\left\{\begin{array}{l}{[f（x）]^{2}，1≤x≤3}\\{f（x）+2，-1≤x＜1}\end{array}\right.$的单调区间与值域．

Answer 1

分析 设f（x）=kx+b，从而可解得f（x）=x-2，从而可得y=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}，1≤x≤3}\\{x，-1≤x＜1}\end{array}\right.$，从而作出函数的图象，利用数形结合求解即可．

解答 解：设f（x）=kx+b，
则f[f（x）]=k（kx+b）+b=x-4，
故$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}=1}\\{kb+b=-4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-2}\end{array}\right.$；
故f（x）=x-2，
故y=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}，1≤x≤3}\\{x，-1≤x＜1}\end{array}\right.$，
作函数y=$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}，1≤x≤3}\\{x，-1≤x＜1}\end{array}\right.$的图象如图，
结合图象可知，
函数的单调增区间为[-1，1]，[2，3]；
单调减区间为（1，2）；
值域为[-1，1]．

点评 本题考查了分段函数的应用及数形结合的思想应用．