Question

9．已知边长为$\sqrt{2}$的正方形ABCD的对角线BD上任意取一点P，则$\overrightarrow{BP}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$）的取值范围是$[-4，\frac{1}{2}]$．

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系，可得A（0，0），$B（\sqrt{2}，0）$，C$（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$D（0，\sqrt{2}）$．设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BD}$=$（-\sqrt{2}λ，\sqrt{2}λ）$，（0≤λ≤1）．利用向量的坐标运算与数量积运算性质可得：$\overrightarrow{BP}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$）=-8$（λ-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（λ），再利用二次函数的单调性即可得出．

解答 解：如图所示，
A（0，0），$B（\sqrt{2}，0）$，C$（\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，$D（0，\sqrt{2}）$．
$\overrightarrow{BD}$=$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$，
设$\overrightarrow{BP}=λ\overrightarrow{BD}$=$（-\sqrt{2}λ，\sqrt{2}λ）$，（0≤λ≤1）．
则$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OB}+λ\overrightarrow{BD}$=$（\sqrt{2}，0）$+λ$（-\sqrt{2}，\sqrt{2}）$=$（\sqrt{2}-\sqrt{2}λ，\sqrt{2}λ）$．
∴$\overrightarrow{PA}$=$（\sqrt{2}λ-\sqrt{2}，-\sqrt{2}λ）$，$\overrightarrow{PC}$=$（\sqrt{2}λ，\sqrt{2}-\sqrt{2}λ）$，
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$=$（2\sqrt{2}λ-\sqrt{2}，\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ）$．
∴$\overrightarrow{BP}$•（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PC}$）=$-\sqrt{2}λ$$（2\sqrt{2}λ-\sqrt{2}）$+$\sqrt{2}λ$$（\sqrt{2}-2\sqrt{2}λ）$=-8λ²+4λ=-8$（λ-\frac{1}{4}）^{2}$+$\frac{1}{2}$=f（λ），
∵0≤λ≤1，∴当$λ=\frac{1}{4}$时，f（λ）取得最大值$\frac{1}{2}$．
又f（0）=0，f（1）=-4，
∴λ=1时，f（λ）取得最小值-4．
∴f（λ）∈$[-4，\frac{1}{2}]$．
故答案为：$[-4，\frac{1}{2}]$．

点评 本题考查了向量的坐标运算与数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与技能数列，属于中档题．