Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列；

(3)求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)解：当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4(a1＋a2＋a3＋a4)＋5(a1＋a2)＝8(a1＋a2＋a3)＋a1，

整理得a4＝，

又a2＝，a3＝，

所以a4＝.

(2)证明：当n≥2时，有4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1，

即4Sn＋2＋4Sn＋Sn＝4Sn＋1＋4Sn＋1＋Sn－1，

∴4(Sn＋2－Sn＋1)＝4(Sn＋1－Sn)－(Sn－Sn－1)，

即an＋2＝an＋1－an(n≥2)．

经检验，当n＝1时，上式成立．

∵＝＝＝为常数，且a2－a1＝1，

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列．

(3)解：由(2)知，an＋1－an＝ (n∈N*)，

等式两边同乘2n，

得2nan＋1－2n－1an＝2(n∈N*)．

又20a1＝1，

∴数列{2n－1an}是以1为首项，2为公差的等差数列．

∴2n－1an＝2n－1，

即an＝ (n∈N*)．

则数列{an}的通项公式为an＝ (n∈N*)．