【题目】已知函数,
在一个周期内的图像如图所示.
(I)求函数的解析式;
(II)设,且方程
有两个不同的实数根,求实数
的取值范围以及这两个根的和.
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.
【解析】
(I)根据三角函数的图像的最高点,求得的值,根据三角函数的周期,求得
的值,根据函数图像上的特殊点,求得
的值,由此求得函数的解析式.(II)画出函数
的图像与函数
的图像,根据图像求得
的的取值范围.根据对称性求得两根的和.
(I)由题设图象,易得,
,
所以,所以
.
所以.
因为函数的图象经过点
,
所以,即
.
又因为,所以
,
所以,所以
.
故所求函数的解析式为
.
(Ⅱ)由题意,知方程有两个不同的实数根等价于函数
的图象与
的图象有两个不同的交点.
因为,
易画出函数的图象与函数
的图象(如图所示).
依据图象可知:
当或
时,
直线与曲线
有两个不同的交点,
即方程有两个不同的实数根,
故所求实数的取值范围为
.
①当时,
与
的图象有两交点且关于直线
对称,设此时方程
两个不同的实数根分别为
,
,
所以当,即
②当时,
与
的图象有两交点且关于直线
对称,设此时方程
两个不同的实数根分别为
,
,
所以,即
综上,当时,所求方程的两根之和为
当时,所求方程的两根之和为
.
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【题目】某市一个社区微信群“步行者”有成员100人,其中男性70人,女性30人,现统计他们平均每天步行的时间,得到频率分布直方图,如图所示:
若规定平均每天步行时间不少于2小时的成员为“步行健将”,低于2小时的成员为“非步行健将”.已知“步行健将”中女性占.
(1)填写下面列联表,并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘步行健将’与性别有关”;
(2)现从“步行健将”中随机选派2人参加全市业余步行比赛,求2人中男性的人数的分布列及数学期望.
参考公式:,其中
.
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【题目】如图,在多面体ABC—DEF中,若AB//DE,BC//EF.
(1)求证:平面ABC//平面DEF;
(2)已知是二面角C-AD-E的平面角.求证:平面ABC
平面DABE.
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【题目】《九章算术》是中国古代第一部数学专著,成于公元一世纪左右,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田(弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形)的面积所用的经验公式:弧田面积=(弦×矢+矢×矢),公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为
,弦长为
的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为( )平方米.(其中
,
)
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
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【题目】某产品的广告支出x(单位:万元)与销售收入y(单位:万元)之间有下表所对应的数据:
广告支出x(单位:万元) | 1 | 2 | 3 | 4 |
销售收入y(单位:万元) | 12 | 28 | 42 | 56 |
(1)画出表中数据的散点图;
(2)求出y对x的回归直线方程;
(3)若广告费为9万元,则销售收入约为多少万元?
参考公式:
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【题目】某公司为庆祝成立二十周年,特举办《快乐大闯关》竞技类有奖活动,该活动共有四关,由两名男职员与两名女职员组成四人小组,设男职员闯过一至四关概率依次是,女职员闯过一至四关的概率依次是
(1)求女职员闯过四关的概率;
(2)设表示四人小组闯过四关的人数,求随机变量
的分布列和数学期望.
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【题目】在十九大“建设美丽中国”的号召下,某省级生态农业示范县大力实施绿色生产方案,对某种农产品的生产方式分别进行了甲、乙两种方案的改良。为了检查甲、乙两种方案的改良效果,随机在这两种方案中各任意抽取了件产品作为样本逐件称出它们的重量(单位:克),重量值落在
之间的产品为合格品,否则为不合格品。下表是甲、乙两种方案样本频数分布表。
产品重量 | 甲方案频数 | 乙方案频数 |
(1)求出甲(同组中的重量值用组中点值代替)方案样本中件产品的平均数;
(2)若以频率作为概率,试估计从两种方案分别任取件产品,恰好两件产品都是合格品的概率分别是多少;
(3)由以上统计数据完成下面列联表,并回答有多大把握认为“产品是否为合格品与改良方案的选择有关”.
甲方案 | 乙方案 | 合计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
合计 |
参考公式: ,其中
.
临界值表:
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【题目】已知椭圆+
=1(a>b>0)的焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值.
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【题目】如图,等边△ABC与直角梯形ABDE所在平面垂直,BD∥AE,BD=2AE,AE⊥AB,M为AB的中点.
(1)证明:CM⊥DE;
(2)在边AC上找一点N,使CD∥平面BEN.
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